พื้นฐานเซต

เซต (อังกฤษ: set) ในทางคณิตศาสตร์นั้น อาจมองได้ว่าเป็นการรวบรวมกลุ่มวัตถุต่างๆ ไว้รวมกันทั้งชุด แม้ว่าความคิดนี้จะดูง่ายๆ แต่เซตเป็นแนวคิดที่เป็นรากฐานสำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การศึกษาโครงสร้างเซตที่เป็นไปได้ ทฤษฎีเซตมีความสำคัญและได้รับความสนใจอย่างมากและกำลังดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง มันถูกสร้างขึ้นมาตอนปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 ตอนนี้ทฤษฎีเซตเป็นส่วนที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาคณิตศาสตร์ และถูกจัดไว้ในระบบการศึกษาตั้งแต่ระดับประถมศึกษาในหลายประเทศ ทฤษฎีเซตเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์เกือบทุกแขนงซึ่งสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ นิยาม ตอนเริ่มแรกของ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้:[1] โดย “เซต” เซตหนึ่ง เราหมายถึงการสะสมรวบรวมใดๆ ที่ให้ชื่อว่า M เข้าเป็นหน่วยเดียวกันทั้งหมด ของวัตถุที่ให้ชื่อว่า m ที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า “สมาชิก” ของ M) ตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา ดังนั้นสมาชิกของเซตเซตหนึ่งจึงสามารถเป็นอะไรก็ได้ เช่น ตัวเลข ผู้คน ตัวอักษร หรือเป็นเซตของเซตอื่น เป็นต้น เซตนิยมเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ B เท่ากัน หมายความว่า ทั้งเซต A และเซต B มีสมาชิกทั้งหมดเหมือนกัน (ตัวอย่างเช่น สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A ก็ต้องเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย เขียนแทนด้วย A = B และในทางกลับกันก็เป็นเช่นเดียวกัน เขียนแทนด้วย B = A) สมาชิกทุกตัวของเซตเซตหนึ่งต้องไม่ซ้ำกัน และจะไม่มีสมาชิกสองตัวใดในเซตเดียวกันที่เหมือนกันทุกประการ ซึ่งไม่เหมือนกับมัลทิเซต (multiset) ที่อาจมีสมาชิกซ้ำกันก็ได้ การดำเนินการของเซตทั้งหมดยังรักษาคุณสมบัติที่ว่าสมาชิกแต่ละตัวของเซตต้องไม่ซ้ำกัน ส่วนการเรียงลำดับของสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ ซึ่งต่างจากลำดับอนุกรมหรือคู่อันดับ ถึงอย่างไรก็ตามเซตถือว่าเป็น อนิยาม ไม่มีนิยามที่ชัดเจนและครอบคลุม การเขียนอธิบายเซต มีสองวิธีในการเขียนอธิบาย หรือระบุถึงสมาชิกของเซตเซตหนึ่ง วิธีที่หนึ่งคือโดยการกำหนดนิยามอย่างตั้งใจด้วยการใช้กฎหรือการอธิบายด้วย ภาษาทางคณิตศาสตร์ ดูตัวอย่างนี้: A เป็นเซตซึ่งสมาชิกของมันเป็น เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัวแรก B เป็นเซตของสีของ ธงชาติฝรั่งเศส วิธีที่สองคือโดย การแจกแจงนั่นคือ การแจกแจกสมาชิกแต่ละตัวของเซต การนิยามเซตด้วยการแจกแจงสมาชิกถูกเขียนแทนด้วยการแจกแจงสมาชิกของเซตภายใน วงเล็บปีกกา: C = {4, 2, 1, 3} D = {blue, white, red} ลำดับที่สมาชิกของเซตถูกเรียงในการนิยามแบบแจกแจกสมาชิกไม่มีความสำคัญ เช่นเดียวกันกับจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันในรายการแจกแจง ตัวอย่างเช่น {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11} เป็นเซตที่เหมือนกันทุกประการ เพราะว่าการแจกแจงสมาชิกเซตมีความหมายเพียงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวในรายการแจกแจงเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตนั้นแค่นั้นเอง สำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมาก การระบุของสมาชิกสามารถเขียนอย่างย่อได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มบวกหนึ่งพันตัวแรกสามารถเขียนแบบแจกแจงได้เป็น: {1, 2, 3, …, 1000}, ที่ซึ่ง การเว้นถ้อยคำไว้ให้เข้าใจเอาเอง (อิลิปซิส, “…”) ระบุว่ารายการแจกแจงดำเนินต่อไปในทางที่เห็นได้ชัด อิลิปซิสอาจถูกใช้ในที่ซึ่งเซตมีสมาชิกไม่จำกัด ดังเช่น เซตของ เลขจำนวนเต็มคู่บวก เขียนแทนได้ว่า {2, 4, 6, 8, … } เราอาจใช้เครื่องหมายปีกการะบุเซตด้วยการนิยามได้ ในการใช้นี้ ปีกกามีความหมายว่า “เซตของ …ทั้งหมด” ดังนั้น E = {playing-card suits} คือเซตซึ่งสมาชิกสี่ตัวของมันคือ ♠, ♦, ♥, และ ♣ รูปแบบทั่วไปของมันคือ การใช้เครื่องหมายตัวสร้างเซต ตัวอย่างเช่น เซตF ของเลขจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดยึ่สิบตัวซึ่งยกกำลังสองแล้วหักออกด้วยสี่สามารถเขียนได้เป็น: F = { – 4 : n เป็นเลขจำนวนเต็ม; และ 0 ≤ n ≤ 19} ในการนิยามนี้ เครื่องหมาย โคลอน (“:”) หมายถึง “โดยที่” และ การเขียนให้รายละเอียดสามารตีความได้ว่า “เซตF เป็นเซตของเลขทั้งหมดของนิพจน์ – 4, โดยที่ n เป็นเลขจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 19″ บางครั้ง เส้นตรงแนวดิ่ง (“|”) ถูกใช้แทนโคลอน (“:”) บ่อยครั้งที่พวกเราต้องเลือกระบุเซตแบบนิยามหรือแบบแจกแจง ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า A = C และ B = D คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต 1.เราอาจจะคิดว่าเซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆซึ่งมีกฎเกณฑ์ชัดเจนว่าสิ่งใดอยู่ในเซตและสิ่งใดไม่ได้อยู่ในเซต สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่าสมาชิกของเซต โดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทนสมาชิกของเซตซึ่งยังไม่เจาะจงว่าคือตัวอะไรด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เช่น a,b,c 2.วิธีเขียนเซต มีอยู่ 3 แบบ แบบข้อความ อธิบายเซตด้วยถ้อยคำ แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทั้งหมดภายใต้ปีกกา {} และใช้จุลภาคคั่งระหว่างคู่ แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก เขียนเซตในรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x} 3.สมาชิกของเซตเป็นจำนวนหรือสิ่งใดก็ได้ เป็นเซตก็ได้ 4.เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน 5.เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด 6.เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย 7.เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U 8.เซตของจำนวนบางชนิด เช่น N = เซตของจำนวนนับ, I = เซตของจำนวนเต็ม, Q = เซตของจำนวนตรรกยะ, R = เซตของจำนวนจริง, C = เซตของจำนวนเชิงซ้อน 9.สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B 10.เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A) การดำเนินการของเซต 1.ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน 2.อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B 3.ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B 4.คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A’ คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A การนับจำนวนสมาชิกของเซต 1.ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A 2.การนับจำนวนสมาชิกของ U ที่ไม่อยู่ใน A อาจใช้สูตร n(A’) = n(U)-n(A) สมบัติของเซตที่ควรทราบ ให้ A, B, C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง 1.กฎการสลับที่ 2.กฎการเปลี่ยนกลุ่ม 3.กฎการแจกแจง 4.กฎการเอกลักษณ์ ความหมายของเซตและการเขียนเซต คำว่า “เซต” ในวิชาคณิตศาสตร์ กล่าวถึง กลุ่มของสิ่งต่างๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้ว สามารถบอกได้ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม ( เป็นความจริงไม่ใช่ความรู้สึกส่วนตัว) เช่น เดือนในหนึ่งปี จะกล่าวว่า เซตของเดือนในหนึ่งปี ผลไม้ในประเทศไทย จะกล่าวว่า เซตของผลไม้ในประเทศไทย คนที่ดีที่สุดในโลก จะกล่าวว่า ไม่เป็นเซตเพราะไม่สามารถระบุได้ว่าใครดีที่สุด หมู่บ้านในตำบลห้องแซง จะกล่าว่า ……………………………………………………………. คนสวยที่สุดในโรงเรียน จะกล่าวว่า ……………………………………………………………. เราจะใช้คำว่า “เซต” ก็ต่อเมื่อเราทราบแน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่มนั้นหรือไม่อยู่ในกลุ่มนั้น เช่น เมื่อเรากล่าวถึง เดือนที่มี 30 วัน เราทราบได้ทันทีว่ามี เมษายน มิถุนายน กันยายน พฤศจิกายน อยู่ในกลุ่มนี้ ในลักษณะเช่นนี้เราจะเรียกกลุ่มดังกล่าวว่า เซตของเดือนที่มี 30 วัน เราจะไม่ใช้คำว่า “เซต” แทนกลุ่มดังกล่าว ถ้าเราไม่สามารถบ่งบอกได้อย่างแจ่มชัดว่า สมาชิกในกลุ่มนี้มีลักษณะอย่างไร เช่น “กลุ่มของคนฉลาด” เราจะไม่ใช้ “เซตของคนฉลาด” เพราะเรายังไม่สามารถสรุปได้ว่า คนฉลาดนั้นต้องมีลักษณะอย่างไรบ้าง คนประเภทใดถึงจะเรียกว่าคนฉลาด ดังนั้นเราไม่สามารถแยกแยะได้ชัดเจนว่าสมาชิกในเซตนี้มีใครบ้าง ตัวอย่างที่ 1 เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ หมายถึง กลุ่มของวันจันทร์ วันอังคาร วันพุธ วันพฤหัสบดี วันศุกร์ วันเสาร์ และวันอาทิตย์ เซตของพยัญชนะของคำว่า “สุภารัตน์ ” หมายถึง กลุ่มของพยัญชนะ ส ภ ร ต และ น เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10 หมายถึง กลุ่มของจำนวน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า สมาชิก (element หรือ members) 1. การเขียนเซต การเขียนแทนเซตอาจเขียนแทนได้ 2 แบบดังนี้ 1.1 การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก โดยเขียนสมาชิกทุกตัวของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว ถ้ามีสมาชิกมากอาจจะละไว้ในฐานที่เข้าใจได้โดยใช้จุดสามจุด (…) และในกรณีดังกล่าว ถ้ามีสมาชิกตัวสุดท้ายให้เขียนไว้ด้วย เช่น เซตของสีของธงชาติไทย เขียนแทนด้วย { สีแดง, สีขาว, สีน้ำเงิน} เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนแทนด้วย 1, 2 , 3, 4 เซตของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100 เขียนแทนด้วย 1, 2, 3, … , 99 เซตของจำนวนนับ เขียนแทนด้วย 1, 2, 3,… หมายเหตุ ในกรณีที่มีสมาชิกเหมือนกัน เราจะเขียนสมาชิกนั้นเพียงตัวเดียว เช่น 1, 1, 5, 7 เขียนเป็น 1, 5, 7 1, 2, 2, 3, 3 เขียนเป็น 1, 2, 3 ในการเขียนเซตโดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และแทนสมาชิกของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a, b, c เช่น A = 1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถึง A เป็นเซตของกำลังสองของจำนวนนับหกจำนวนแรก B = a, e, i, o, u หมายถึง B เป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ C = 1, 2, 3, 4,…, 20 หมายถึง C เป็นเซตของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 20 = 1, 2, 3, 4,… หมายถึง เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก